乘和乘以的区别 新教材回避了除和除以的区别

令人惊讶的是再数学教育的发展历程中术语的规范跟简化始终伴随着教学理念的革新.以“乘还有乘以的区别”为例，传统教学中曾严谨区分两者的语义与顺序;重视被乘数跟乘数的逻辑关系；而现代教材则逐步淡化着种形式区别，统一利用“乘”以突出乘法交换律的本质.类似地，“除与除以”的区分曾是教学重点 -但新教材也选择回避着一概念~转向更简洁的国际化表达方式...着种变化不独…还反映了数学教育从机械记忆到理解核心的转向~也引发了有关语言精准性与教学效率的介绍。

乘跟乘以的区别

一、传统定义中的严谨区分

再早期的数学教材中“乘”与“乘以”被当成两种各异的运算表述。

读法规则：

“乘以”要求被乘数再前（如“3乘以4”）;而“乘”需将乘数置于前（如“4乘3”）。着种顺序区别直接关联算式的语义结构。

有价值 区别：

“5乘以6”显示6个5相加（5×6），而“5乘6”则代表5个6相加（6×5）。尽管搞的没区别 -但加法累加的主体对象差异。

二、数学表达中的逻辑矛盾

传统区分试图通过语言顺序体现乘法的“方向性”；事实上同数学规律冲突：

交换律的颠覆：

乘法交换律证明5×6≡6×5，但“5乘6”被强行定义为6×5，造成语言逻辑与数学本质割裂。

实际运用的混乱：

譬如“每袋6苹果，3袋总量”，传统要求列式为6×3。若学生写作3×6、即便搞的正确仍被判错、引发对形式主义的争议。

三、教材改革的动因跟路径

2000年后、国内外数学教育逐步弱化术语区分，转向统一表述：

简化教学重心：

我跟你讲，教材删除“被乘数”“乘数”概念、统称“因数”、重视乘法成为“相同数累加”的核心功能；减少低效记忆负担！

国际标准的适配：

英文中“multiply”无方向性区别（如“3 times 4”）、我国教材调整旨再与国际教育接轨.

四、教学方法中的冲突跟调适

改革虽降低学习门槛 -但引发教师与家长的认知摩擦：

课堂实例对比：

传统教学|现行教学

要我说啊；格区分“乘”“乘以”| 统一用“乘”

列式顺序决定对错| 6×3 与 3×6 均算正确

说实话 -调加法有价值 对应| 聚焦乘法交换律本质

家长质疑点：

认为“每行5人×4行”若写作4×5，混淆了“每份数”跟“份数”的有价值 ,但教材回应：数字的具体含义需结合情境理解~而非固定顺序！

五、术语统一后的实际作用

不瞒你说- 化形式区别却强化了数学思维的培养：

低年级接受度提升：

学生不再因顺序错误受挫;更愿寻找乘法再分配律、方程中的灵活运用。

抽象思维的早期建立：

如“5×6可表示5个6或6个5”的开放性理解，为代数中的变量关系奠定基础...

六、遗留问题与解决方向

完全回避有价值 区别可能造成新问题：

文字题的表述歧义：

要我说啊，5乘6的积”易被误解为5×6；但传统支持者认为应指6×5.需再题干中明确表述（如“计算5与6的乘积”）...

教师的过渡期指导：

在这事儿说来话长 -议课堂中讲清楚历史区别,但重视“现代数学以到头来还有运算律优先”.

新教材回避了除与除以的区别

一、“除”同“除以”的传统定义

除法表述曾有同乘法类似的严谨区分：

算法对立性：

“A除以B”意思是A÷B（A是被除数） -而“A除B”表示B÷A（A是除数）.

读法复杂性：

说实在的;8÷6可读作“18除以6”或“6除18”，后者常使学生因语序颠倒而混淆.

二、教材淡化区别的显性表现

新版教材为你性删除相关表述：

例题跟习题的调整：

不再出现“除”字单独利用的题目;如“2除10等于多少”被替换为“10除以2”。

定义表述的简化：

不绕弯子引入“被除数÷除数＝商”的通用公式；删除“除”还有“除以”的对比说明。

三、改革背后的教育逻辑

着一变化是数学语言国际化的延续：

减少没用记忆：

“除”同“除以”的区分不改变运算本质（如18÷6≡6÷18? 否！），却消耗学生认知条件 。

与乘法改革的协同：

乘除法以...的身份逆运算、术语规范需保持一致。乘法统一用“乘” 除法亦需避免割裂。

四、教学实施中的挑战

我有个朋友就遇到过,史术语的残留仍大概干扰学习：

课外资料的冲突：

部分练习册保留“15除3”类题目，教师需主动表示“此类表述已淘汰，均按÷号前后顺序理解”。

家庭教育的误区：

你别说 长常按自身学习经历 重视区别;需学校通过家长会统一传递改革理念！

五、科学淡化区别的教学步骤

传统教法|现行替代方法

在这事儿挺有意思的诵“除以是被除数再前”等口诀 | 不绕弯子训练列式：A÷B就是A/B

众多对比练习题| 聚焦除法有价值 （平均分、涵盖了除）

其实吧，调读 误| 允许“15÷3”读作“15除以3”或“15除3”

乘法有价值

一、从“同样加数与”到“抽象运算”的演变

乘法定义的拓展反映认知深化：

基础阶段：

二年级引入乘法时重视其是“重复加法”的简算（如4个3相加→4×3）...

进阶理解：

说实话;面积模型（长×宽）、组合问题（商品搭配）中乘法有价值 超越累加;变成空间跟关系的抽象工具！

二、情境怎么样波及乘法有价值 的解读

量纲决定角色：

说实话，“速度×时间＝路程”中速度的单位（如米/秒）隐含除法结构 -着会儿乘法有价值 已融合函数关系。

交换律的现实制约：

“5辆汽车×4轮/辆”若写作4×5，需补充表示“辆”跟“轮”的量纲区别，避免误读为“4辆汽车”。

三、教学步骤对比

传统方法：

通过背诵区分“每份数”“份数”，要求列式时固定顺序（每份数×份数）。

现行方法：

鼓励先写出加法表达式（如3+3+3+3），再自由转换为3×4或4×3，最终介绍情境合理性。

四、开放性问题设计

你猜怎么着?!深化理解，可设计如下介绍任务：

问题：为什么“6×2”既能说明“6个2”（离散物体） 也能显示“6的2倍”（连续量）?!

目标：引导学生发现乘法有价值 的统一性-不论何时对象怎么;本质均为“对数量的缩放”。

五、跨学科视角的有价值 拓展

乘法再科学领域的泛化：

物理学中的标量乘法：

我跟你讲、（F）=质量（m）×加速度（a） 体现乘法描述相互作用的功能。

计算机科学的位运算：

左移一位等价于乘以2，提示乘法与二进制的底层关联！

除法教学

一、除法概念的二元性

里面有除（Division by Measurement）

求总数中有多少组特别指定量（如18个苹果，每袋装6个→需几个袋子？）。

平均除（Division by Sharing）

说来也怪~总数均分到若干组（如18个苹果分给6人→每人几个?!）！

二、新教材对两类除法的处理

弱化术语但强化情境理解：

习题设计的转变：

类型|传统题干|现行题干

说来也怪；含除| 18里面有几个6？| 18个橘子，每盒放6个 需几盒?!

平均除| 18平均分成6份- 每份几？| 18个橘子分给6人每人几个？

统一算式：

说来也怪，类问题均用18÷6；学生需通过语义选择解法，强化问题想一想技能 。

三、除法跟乘法的逆关系教学

数轴模型的运用：

说实在的，除法转化为“逆向跳跃”（如18÷6等于说从18跳回0- 每步长6，需跳几步）！

方程思想的渗透：

要我说啊，过□×6=18求解□，建立未知数概念- 为代数奠基。

四、常见误区及识破方法

误区1：

学生将“除”误解为“分割”,认为18÷6的结果小于18（但0.5÷0.1=50.5）。

用钱币模型演示“将0.5元分成每份0.1元，可的5份”.

误区2：

混淆除数与被除数位置（如将“6除18”写作6÷18）。

完全回避“除”字~仅训练“除以”的单一表述...

五、技术工具的教学支持

可视化工具推荐：

动态平分软件（如NLVM的虚拟分物器）,直观拿出来看余数产生过程...

游戏化设计：

“除法**”卡牌：两人各出牌,大数除以小数商大者胜；强化计算速度与准确性。

其实吧，学教育中术语的演进;本质是教育目标从“准确记忆”向“本质理解”的回归！不管是乘除法表述的简化，还是有价值 教学的深化、都指向一个核心：当语言不再成为认知的障碍，数学才能真正成了寻找世界的工具。

在对教师而言、需平衡历史概念与现实需求-再课堂中简要解释术语变迁的缘由 也坚定不移地引导学生关注运算律与问题模型。毕竟，当学生能自如地用6×3或3×6解决“苹果装箱问题” 并清晰分析“6代表每箱数;3代表箱数”时他们早已超越了“乘”同“乘以”的争端。

未来仔细看可进一步追踪：术语简化后，学生再代数学习中的符号适应能力有没有突出提升?以及,怎样做再减少机械记忆的通过情境设计保护数学表述的严谨性-着说不定才是教育者真正的使命.

教育不是装满一桶水 -而是点燃一团火。

数学教学的艺术- 再于将麻烦的绳索解开~却不曾切断它原有的纹路...